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复习高阶等差数列

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xukun977|  楼主 | 2021-6-13 10:10 | 显示全部楼层



通过例子讲定义是最直观的,例如几阶差的定义,先看一个数列an:


3315160c567f28c388.png

用a n+1 -  a n  得到新的数列,这个数列叫原数列的一阶差:


9862260c56827546d9.png


对一阶差数列再求一次差,得到二阶差数列:


5177060c568850e653.png



而如果继续求差,可见对于3阶差数列,全是相同的常数6;如果对3阶差数列再求差,结果都是0,更高阶差数列当然也是零了。


于是这个例子中的数列,就叫三阶等差数列!






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xukun977|  楼主 | 2021-6-13 10:16 | 显示全部楼层



高中数学竞赛考这个,有点太难了,不过国内的学科竞赛,玩的就是提前学--------小学竞赛考初中知识,初中竞赛考高中知识,高中竞赛考大学知识。

这种所谓的提前学习,实际上没有什么意义。

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xukun977|  楼主 | 2021-6-13 10:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 xukun977 于 2021-6-13 10:24 编辑


要想知道r阶等差数列的通项怎么求,必须先熟悉二项式的幂的求法:


下面这两个式子显然是成立的:

2712760c56b1ebe535.png
只要学会扭一扭屁股,高阶幂唾手可得:


1675860c56b8b40cd9.png


如上图所示,先写出a+b的系数,为1+1,然后整体向后移动一位,然后相加,便得2次幂的表达式,如上图所示。


670860c56c3112902.png



使用同样的方法,可得任意次幂的表达式。










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xukun977|  楼主 | 2021-6-13 10:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 xukun977 于 2021-6-13 10:36 编辑



说明一下情况:

大约在明天或后天,到时候我尽量做几个短视频,直接拿个笔在纸上写,这样简单高效,做PPT太慢了。


所以这里先大略把数学知识过一遍,有了雄厚的数理基础,后面的电路就好办了。



言归正传,按照楼上完全相同的套路,我们可以得到数列an的通项表达式。

先求一阶差,第一项用d1表示:

5525960c56d36e290a.png
如果对一阶差继续求差,得二阶差,第一项用d2表示,以此类推。


我们根据上图,得到了第一个表达式a2=a1+d

仿照二项式幂的求法,我们把屁股扭一扭------向后移动一位,便可得a3的表达式:


3565460c56e49979da.png

再把屁股扭一扭,得到a4的表达式:



3689860c56e944bd8b.png



后面情况以此类推。

使用归纳法也能看出来通项表达式为:


911860c56f2509fc6.png


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xukun977|  楼主 | 2021-6-13 10:39 | 显示全部楼层



有了通项表达式,就可以计算出给定数列的某一项了,例如上面给出的an数列的第15项为:



443060c56fa48fdee.png

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xukun977|  楼主 | 2021-6-13 10:59 | 显示全部楼层



这里重要的是:

1,如果只记相关公式和结论,不能理解过程,可能更珍贵的东西就忽略了。

2,知识的活学活用,有了二项式幂的求法做知识铺垫,这种【新问题】就容易解决了。

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